可逆矩阵的行列式
2023-04-19可逆矩阵与其逆矩阵是大学数学(高数)中的重点知识也是期末考试和研究生入学考试中的高频考点。本文重点来谈谈“逆矩阵的行列式值与原矩阵行列式的关系”:逆矩阵的行列式与原矩阵的行列式的乘积为1,即二者互为倒数。
可逆矩阵的行列式是什么
矩阵逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数。
证明如下:
因为 AB=BA=E(单位阵),B是A的逆矩阵.
所以 |AB|=|BA|=1。
当A是方阵时,|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,
有 |B|=1/|A|。
逆矩阵的性质定理以及证明
性质定理:
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作(A-1)-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆,并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)。
5、若矩阵A可逆,则矩阵A满足消去律。即AB=O(或BA=O),则B=O,AB=AC(或BA=CA),则B=C。
6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
证明:
1、逆矩阵是对方阵定义的,因此逆矩阵一定是方阵。
2、设B与C都为A的逆矩阵,则有B=C。
3、假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=IC,因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。
4、由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等。
矩阵A可逆,有AA-1=I 。(A-1) TAT=(AA-1)T=IT=I ,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I。
由可逆矩阵的定义可知,AT可逆,其逆矩阵为(A-1)T。而(AT)-1也是AT的逆矩阵,由逆矩阵的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T。
5、1)在AB=O两端同时左乘A-1(BA=O同理可证),得A-1(AB)=A-1O=O
而B=IB=(AA-1)B=A-1(AB),故B=O。
2)由AB=AC(BA=CA同理可证),AB-AC=A(B-C)=O,等式两边同左乘A-1,因A可逆AA-1=I 。
得B-C=O,即B=C。